L’Hôpital法则
函数比值的极限等于导数的比的极限，只要导数的比的极限存在。
$\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{f(x)}=\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{g(x)}=0(\infty)$，且$\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{f’(x)\over g’(x)}=l$，则$\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{f(x)\over g(x)}=\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{f’(x)\over g’(x)}$
证明
先证明 $\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{f(x)}=\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{g(x)}=0$ 的形式。
由定义知：对于任意$\epsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$，当$ x \in (a,a+\delta)$，有：
$l-\epsilon < {f’(x)\over g’(x)} <l+\epsilon$ 所以对于$(x,x_0) \subset (a,a+\delta)$ ，由Cauchy中值定理，必然有$\xi \in (x,x_0)$ ，使得：
$l-\epsilon < {f(x)-f(x_0)\over g(x)-g(x_0)} = {f’(\xi)\over g’(\xi)} < l+\epsilon$
由恒等变形，我们知道：
${f(x)-f(x_0)} \over {g(x)-g(x_0)}$ $=$$ ({f(x) \over g(x)} - {f(x_0) \over g(x)}) \over ({1- {g(x_0) \over g(x)}})$
令 $x_0 \to a$ 我们有 $1-{g(x_0)\over g(x)} \to 1$ 。所以我们有：$\displaystyle \lim^{}_{x \to a^+}{f(x)\over g(x)} \leq l+\epsilon$ 。
由 $\epsilon$ 的任意性，我们有$\displaystyle \lim^{}_{x \to a^+}{f(x)\over g(x)} \leq l$ ，同理有$\displaystyle \lim^{}_{x \to a^+}{f(x)\over g(x)} \geq l$ 。
所以$\displaystyle \lim^{}_{x \to a^+}{f(x)\over g(x)} = l$ 。
对于证明 $\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{f(x)}=\displaystyle \lim^{}_{x \to a}{g(x)}= \infty$ 的形式，采用倒数即可转换为上述形式。