最近在复习线性代数，本以为一些我已经彻底明白的事情，在重新学习的过程中，还是会遇到一些新的疑问，比如向量叉乘的意义。众所周知，向量之间的运算有点乘和叉乘（Cross Product，向量积、外积），其中点乘是比较简单的，而且很容易推广到高维；但是叉乘不同，在不同维度上的意义不相同，推广的过程也比较曲折。
先说结论：
- 二维叉乘和三维叉乘（及高维叉乘）无论从计算方式还是几何意义上都完全不一样，根本上不是同一类运算，只是都依赖行列式，并且在维度上具有齐次性，因此都叫叉乘。
- 二维向量叉乘意义，更像是 $ 2 \times 2$ 行列式的一种简约写法，而三维或高维则完全不是。
二维向量叉乘的几何意义
基本上，现在所有的教科书都会定义二维向量的叉乘：两个向量叉乘的几何意义是该两个向量所围成的平行四边形的面积。如下图，$\vec{v} \times \vec{w}$ 的几何意义就是黄色区域的面积。
更一般地可以通过$det(\left[ \begin{matrix} v_x&w_x\\ v_y&w_y \end{matrix} \right] )$ 这种行列式的方式来计算其面积的大小。即
$Area = v_x w_y - w_x v_y$ ，这个过程不难证明。
而从行列式的角度出发，可以一般推广出多维行列式的几何意义，如三维行列式，即$det(\left[ \begin{matrix} u_x&v_x&w_x\\u_y&v_y&w_y\\u_z&v_z&w_z \end{matrix} \right] )$ 可以表示 $\vec{u}$ ，$\vec{v}$ ，$\vec{w}$ 三个向量所构成的三维体积，如下图：
但是值得注意的是，三维满秩行列式的几何意义和二维度的不一样，它不能代表三维向量的叉乘。下面接着讲述三维向量叉乘的几何意义。
三维向量叉乘的几何意义
我们在计算向量 $\vec{v}$，$\vec{w}$ 的叉乘 $\vec{p}$ 时，通常如此
并且被告知 $\vec{p}$ 具有如下三个几何性质：
- 长度等于 $\vec{v}$，$\vec{w}$ 张成的平行四边形的面积
- 方向与$\vec{v}$，$\vec{w}$ 垂直
- 符合右手定则
尝试用线性变换的眼光看待叉乘，大体步骤如下：
- 根据 $\vec{v}$，$\vec{w}$ 定义一个三维到一维的线性变换
- 找到它的对偶向量
- 说明这个对偶向量就是$\vec{v} \times \vec{w}$
一切都始于这个函数:
$f(\left[ \begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]) = det(\left[ \begin{matrix} x&v_1&w_1\\y&v_2&w_2\\z&v_3&w_3 \end{matrix} \right] )$
，其中矩阵第二列和第三列分别是向量 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ ，我们定义了一个从三维空间到数轴的函数，输入向量 $\left[ \begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$,然后通过矩阵的行列式得到一个数。由行列式的几何意义，我们知道这个函数右边算出来的是由三个向量张成的平行六面体的体积，由取向确定符号。
这个函数的一个至关重要的性质是：它是线性的。
一旦知道它是线性的，我们就可以引入对偶性的思想了。
既然是线性，那就可以通过矩阵乘法来描述这个函数
$\left[ \begin{matrix} p_1&p_2&p_3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right] = det(\left[ \begin{matrix} x&v_1&w_1\\y&v_2&w_2\\z&v_3&w_3 \end{matrix} \right] )$，必然会存在一个 $ 1 \times 3$的矩阵代表这个线性变换。
而对偶性的特别之处在于，对于多维空间到一维空间的变换，可以把这个矩阵竖起来写，并将整个变换看作与这个特定向量的点积。我们要找的就是这个特殊的三维向量，称为 $\vec{p}$ 。
$\left[ \begin{matrix} p_1\\p_2\\p_3\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right] = det(\left[ \begin{matrix} x&v_1&w_1\\y&v_2&w_2\\z&v_3&w_3 \end{matrix} \right] )$，使得 $\vec{p}$ 与其它任一向量$ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ 的点乘等于一个 $3 \times 3$
矩阵的行列式，这个矩阵的第一列是 $ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ ，后两列是向量 $\vec{v}$和$\vec{w}$ 的坐标。
至此，我们就可以求出 $\vec{p}$ 了，等号两边都展开，左边 $ = p_1\cdot x + p_2 \cdot y + p_3\cdot z$
, 右边 $ =x(v_2w_3 - v_3w_2)+y(v_3w_1-v_1w_3)+z(v_1w_2-v_2w_1)$
，所以可得到
- $p_1 = v_2w_3 - v_3w_2$
- $p_2 = v_3w_1-v_1w_3$
- $p_3 = v_1w_2-v_2w_1$
接下来思考，什么样的向量 $\vec{p}$ 满足上面的方程呢？
与$ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ 的点乘等于 $ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ 和 $\vec{v}$，$\vec{w}$ 三个向量张成的平行六面体的体积。
先说等号左边，左边的点乘我们可以看作是$ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ 在 $\vec{p}$ 上的投影与 $\vec{p}$ 的长度相乘。
等号右边是 $ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ 和 $\vec{v}$，$\vec{w}$ 三个向量张成的平行六面体的体积，这个体积我们可以这么算：
$\vec{v}$和$\vec{w}$ 看作底面，得到底面积，再乘上 $ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ 在垂直底面方向上的分量长度。
换句话说，我们找到的线性函数对于向量的作用，是将这个向量投影到垂直于$\vec{v}$和$\vec{w}$ 的直线上，然后将投影长度与$\vec{v}$和$\vec{w}$ 张成的平行四边形面积相乘。但是，这和垂直于 $\vec{v}$和$\vec{w}$ 且长度为平行四边形的面积的向量与 $ \left[\begin{matrix} x\\y\\z\end{matrix} \right]$ 做点乘是同一回事。
这就意味着我们找到了这个向量 $\vec{p}$ 。
高维向量叉乘的几何意义
而高维向量叉乘的意义则可以移步参阅 高维空间的叉积及其几何意义
本文第二部分观点引用于 3Blue1Brown